לחצו כאן כדי לעבור לתחילת המאמר
הצטרפו לניוזלטר השבועי

לקבלת עדכונים באימייל




להבין את הכאוס: פרק א' – בעיית שלושת הגופים

להבין את הכאוס: פרק א' – בעיית שלושת הגופים

מדע הכאוס מלמד אותנו להבחין בין העדר סדר להעדר סיבה; בין מקריות לאקראיות, אבחנה שהיא חשובה מאוד כאשר אנו נתקלים במצבים קשים, בהם נדמה כי העולם מתנהג באופן אקראי, ללא סיבה והשגחה.

מאת

מדע הכאוס, הוא מדע חדש יחסית, העוסק בחקר תופעות טבע מקריות, דהיינו תופעות לא מחזוריות, כגון, עשן סיגריה העולה ומתערבל באויר, נחל שוטף ומתערבל במורד ההר, מזג האויר, ועוד.

למעשה, לחקור את המקריות נשמע לנו כמו דבר והפוכו, "מקרי" הפך אצלנו שם נרדף לאירוע שאינו זקוק להסבר סיבתי - מין שגיאה - הפרעה טורדנית בעולם של כללים מחזוריים. מאות שנים, התייחסו המדענים אל המקרי כאל יוצא מן הכלל, הם לא ראו צורך להתעמק בחקר המקריות.

הגישה הזאת השתנתה עם הופעתו של מדע הכאוס.

בסוף המאה ה-19 חי פיזיקאי ופילוסוף בשם ז'ול-אנרי פואנקרה (Poincare). פואנקרה נחשב למדען הראשון ששם לב לתופעת הכאוס. בתקופתו רווחה השקפת עולם מכניסטית. היקום נתפס כמין שעון, בו כל הגלגלים מסתובבים ומפעילים את המנגנון, במחזוריות סדירה וקבועה.

ניקח לדוגמה את מערכת השמש, היא מכילה כוכבים רבים, ירחים, טבעות, וחגורה של אסטרואידים. על מנת להבין כיצד פועלת המערכת בכללותה, חישבו הפיסיקאים את מסלולי הגופים השונים - כל מסלול ומסלול בנפרד. הפיסיקאים לא התקשו לחשב מסלול בודד, כיוון שחישוב כזה כלל רק שני גופים - הכוכב שנע על המסלול, והכוכב שעומד במרכז המסלול. אך חישוב כזה אינו מדוייק, הכוכבים הנעים סביב השמש, אינם מושפעים רק מכח המשיכה של השמש, הם מושפעים גם זה מזה. לכל כוכב, קטן ככל שיהיה, יש כח משיכה המשפיע על הכוכבים האחרים, ההשפעה הזאת יוצרת סטיות במסלולי הכוכבים האחרים. חישוב מיגוון ההשפעות ההדדיות הללו הוא מורכב ובעייתי, ומכונה "בעיית שלושת הגופים".

הוא גילה שבמקרים מסויימים יכולה השפעה של כוכב אחד, על מסלולו של כוכב אחר, להפוך מסטיה מקרית, לגורם מכריע המשבש את המסלול כולו.

הדרך המקובלת להתמודד עם בעיית שלושת הגופים היתה, לחשב תחילה את מסלולו של הכוכב כאילו אין כוכבים אחרים בסביבה, ולאחר מכן לטפל בסטיות שנבעו מהשפעת הכוכבים האחרים על ידי ביצוע תיקונים במסלול הבסיסי, בזה אחר זה, במסגרת מה שנקרא "תורת ה"הפרעה". גם בפתרון הזה אין התמודדות עם בעיית שלושת הגופים כבעיה של שלושה גופים - פותרים את הבעיה כבעיה של שני גופים, ואל הגוף השלישי מתיחסים כאל גורם מפריע, המשבש מעט את המסלול, ומצריך הוספת תיקונים - אין נסיון להבין את האופן בו כל המרכיבים פועלים יחד, בו-זמנית.

פואנקרה החליט להתמודד חזיתית עם החישובים המסובכים של בעיית שלושת הגופים, וגילה דבר מדהים. הוא גילה שבמקרים מסויימים יכולה השפעה של כוכב אחד, על מסלולו של כוכב אחר, להפוך מסטיה מקרית, לגורם מכריע המשבש את המסלול כולו.

מעגל משוב

ניקח לדוגמה אסטרואיד שחג סביב השמש, מן הצד עומד הכוכב צדק, ובאמצעות כח הכבידה שלו גורם להפרעה במסלול האסטרואיד סביב השמש. בעבר הניחו האסטרונומים שהפרעה כזאת תגרום לסטיה קלה בלבד במסלולו של האסטרואיד. לפי תחשיביו של פואנקרה במקרים רבים, תיקון קל במסלול האסטרואיד יספיק, אך במקרים אחרים עלולה סטיה כזאת, להתגבר על ידי מעגל משוב ולשבש את המסלול כולו.

מעגל משוב הוא מצב שבו יש היזון-חוזר, לדוגמה: כאשר מקרבים את המיקרופון לרמקול, אפילו רעש רקע חלש ביותר הנפלט מן הרמקול, נקלט במיקרופון ועובר הגברה. לאחר מכן נפלט שוב מהרמקול, ושוב נקלט, מוגבר ונפלט וחוזר חלילה, מה שנפלט, נקלט חזרה ועובר הגברה, עד שמתקבל ציפצוף מחריש אוזניים.

נחזור לדוגמה של האסטרואיד. צדק מושך את האסטרואיד אליו, דבר שגורם לאסטרואיד להתרחק מעט מן השמש, מה שמחליש את כח המשיכה של השמש, מה ששוב מגביר את ההתרחקות של האסטרואיד לכיוונו של צדק וחוזר חלילה. נוצר מעגל משוב המגביר את הסטיה הקטנה, מתחילות להווצר תנודות עזות ולא סדירות, המשבשות את המסלול, ובמקרים מסויימים עלול האסטרואיד אף לצאת ממערכת השמש. פואנקרה גילה תופעה שהיום מכנים אותה "כאוס" - תלות רגישה לתנאי התחלה - סטיה מיקרית קלה, חיתחות זעיר בקנה מידה קטן עובר הגברה במעגל משוב, ויוצר אי סדר בקנה מידה גדול.

מעגל המשוב יוצר מצב שנקרא תלות הרגישה לתנאי התחלה - כל שינוי בקנה מידה קטן יוצר תהפוכה בקנה מידה גדול.

על מנת שיווצר מצב של כאוס, צריכה המערכת לכלול לפחות שלושה גופים, המפריעים זה לזה. ההפרעות ההדדיות גורמות לזיגזוגים וחיתחותים במסלולי הגופים, ואם מתפתח מעגל משוב, אפילו חיתחותים קטנים וזניחים עוברים הגברה, הרטיטות הקלות הופכות לתנודות עזות ולא סדירות בקנה מידה גדול ויש לנו מצב של כאוס. בעיית שלושת הגופים יוצרת את החיתחות, ואילו מעגל המשוב מגביר אותו. מעגל המשוב יוצר מצב שנקרא תלות הרגישה לתנאי התחלה - כל שינוי בקנה מידה קטן יוצר תהפוכה בקנה מידה גדול. אם מערכת של שלושה גופים היא מערכת כאוטית, ודאי שנוזלים, עשן מתאבך ומזג אויר - מערכות הכוללות מספר עצום של גופים המקיימים בינהם יחסי גומלין - הן מערכות כאוטיות.

פרט להגברת החיתחות, גורמת התלות הרגישה לתנאי התחלה, קושי בחיזוי התנהגותן של מערכות כאוטיות לטווח ארוך, קחו למשל את מזג האויר, אפשר לחזות אותו לטווח של עד שלושה ימים. החיתחות הלא מחזורי שמתגלה במערכות כאוטיות, הוא תוצא של תהליך סיבתי מסודר - כל שלב קובע את השלב שיבוא אחריו - עד שמתקבל החיתחות. לכן ברמה העקרונית, לא צריכה להיות בעיה בחיזוי החיתחות הזה מראש אפילו לטווחים ארוכים.

על כל מערכת דטרמיניסטית (הפועלת על פי העקרון של סיבה ותוצאה) אפשר באמצעות נוסחאות מתמטיות, לחשב את התנהגותה בשלב הבא - תהיה ההתנהגות הזאת אשר תהיה - מחזורית או לא מחזורית. אתם בוודאי מתקשים להאמין - נוסחא מתמטית שתיתן לנו כתוצאה בלגן מקרי?! נשמע מטורף - אבל זה עובד! הנה סיפור קצר, על נוסחא תמימה למראה, שבמצבים מסויימים נותנת כפלט זיגזג לא מחזורי.

הארנבות וחתולי הבר

הסיפור מתחיל בבעיה בביולוגיה. הביולוג רוברט מאי היה זקוק לנוסחא מתמטית, שתאפשר לו לחשב את יחסי הגומלין בין אוכלוסיית חתולי הבר, לאוכלוסיית הארנבות.

עליה תלולה באוכלוסיית חתולי הבר, גורמת לירידה תלולה באוכלוסיית הארנבות, כיוון שחתולי הבר טורפים את הארנבות. אם בשנה אחת היתה עליה באוכלוסיית חתולי הבר, הרי שבשנה שלאחריה, תהיה אוכלוסיית הארנבות דלילה, וחתולי הבר יסבלו מחוסר-מזון, מה שיגרום לירידה במספרם של חתולי הבר. ברגע שאוכלוסיית חתולי הבר תפחת, יוכלו שוב הארנבות להתרבות, וחוזר חלילה.

רוברט מאי בחר בנוסחא פשוטה יחסית:

X מייצג את אוכלוסיית הארנבות.
R מייצג את הגידול הטבעי.

כדי לקבל את אוכלוסיית השנה הבאה צריך רק להכפיל את X ב-R. הנוסחא הזאת חוזרת על עצמה במעגל משוב, את האוכלוסיה הראשונית (נניח 0.3 מליון) מכפילים בקצב הגידול (נניח 2), את התוצאה מזינים שוב אל תוך הנוסחא ושוב מכפילים וחוזר חלילה. בשלב זה מייצגת הנוסחא רק את קצב הגידול של אוכלוסיית הארנבות, אך במקביל למגמת הגידול, יש מגמה של ירידה הנובעת מריבוי הטורפים. כדי לשלב בנוסחא את מגמת הירידה, השתמש מאי בנוסחה הבאה:

(X next = RX(1-X

התוצאות שהתקבלו היו מוזרות ביותר. כאשר קצב גידול האוכלוסיה היה קטן מ-2.7 האוכלוסיה נטתה להתייצב בגובה מסויים, אולם בערכים גבוהים יותר מתחילה להתגלות חוסר יציבות, אוכלוסיית הארנבות עולה ויורדת מידי שנה. בקצב גידול של 4 מקבלים כאוס - זיגזג לא מחזורי, גודל האוכלוסיה עולה ויורד משנה לשנה בצורה מקרית לחלוטין. איך יתכן שנוסחא מתמטית תייצר אנדרלמוסיה? איך יתכן שחוקי הטבע מייצרים אנדרלמוסיה? האם אין סתירה בין שני המושגים?

חוק לעומת סיבה

כבר לפני אלפי שנים, חקרו בני האדם תופעות טבע מחזוריות כמו למשל, זריחה ושקיעה, עונות השנה, גאות ושפל ועוד. המחזוריות הזאת אפשרה להם לקבוע מועדי זריעה וקציר, קביעת מועדי החגים וקביעת לוחות שנה. אחת מתופעות הטבע המחזוריות הן ליקוי חמה וליקוי ירח, תופעות אלה, חוזרות על עצמן בפרקי זמן קצרים יחסית (חודשים או שנים).

כבר לפני 3,000 שנה ידעו האסטרונומים לחזות את הליקויים לפני התרחשותם. עדות כתובה ראשונה לליקוי חמה נתגלתה בסין, ונכתבה 2134 שנים לפני הספירה. בתקופה זו היו אסטרונומים מלכותיים מיוחדים, שתפקידם היה לחזות את הליקוי המתקרב ולהתכונן לקראתו. כבר אז עקבו האסטרונומים הסינים אחרי המחזוריות שבהופעת הליקויים וידעו לחזותם מראש, אך מבלי שידעו את הסיבה שבגללה נגרם הליקוי. הם חשבו שדרקון ענק בולע את השמש לזמן קצר, והיו מכים בתופים כדי להפחיד את הדרקון. בכתובת שנתגלתה מסופר כי בשנת 2134 לפני הספירה עמד להתרחש ליקוי, ושני האסטרונומים מלכותיים, הי והו, היו שיכורים ולא הכינו את הטקסים הנדרשים שכללו שירה, תיפוף וירי חיצים השמימה. המלך כעס מאוד, ולמרות שכעבור זמן קצר חזרה השמש לזרוח, ציווה לכרות את ראשיהם של הי והו.

הלקח מן הסיפור, פרט לכך שיש להיזהר מן השכרות, הוא שאפשר לצפות את ליקוי החמה הבא, גם בלי לדעת את הסיבה להתרחשותו. אסטרונום יכול לזהות מחזוריות בליקויי החמה, וכך לדעת לחזות את הליקוי הבא. בנוגע לסיבה הוא יכול לחשוב - כמו האסטרונומים הסינים - שדרקון ענק בולע את החמה, ועדיין התחזית שלו תהיה מדוייקת. צריך לדעת להבדיל בין חוק לסיבה, אפשר לחזות תופעות על פי החוקיות שבה הן מתרחשות, גם בלי לדעת את הסיבה להתרחשותן.

מקריות היא העדר חוקיות, אך אין לה שום קשר למושג "אקראיות" שמשמעותו העדר סיבה.

נניח לשם הפשטות, שאחת לשבעה חודשים מתרחש ליקוי חמה, בו הירח מתמקם בין השמש לכדור הארץ, ומסתיר את השמש מעיניהם של יושבי כדור הארץ. להי והו יש יומנים, בהן רשומים התאריכים בהם התרחשו ליקוים בעבר, הם מעיינים ביומנים ומגלים שליקוי חמה מתרחש במחזוריות של אחת לשבעה חודשים. על מנת לצפות את הליקוי הבא, כל שעליהם לעשות הוא, לספור את מספר הימים שבין ליקוי לליקוי, ובתום התקופה ולהודיע למלך שעומד להתרחש ליקוי, למה? ככה! כי הדרקון השמן והגדול שוב רעב. הי והו גילו חוק שאומר: אחת לשבעה חודשים מתרחש ליקוי, את החוק הזה הם רושמים בכתבי האסטרונומים המלכותיים של סין, על מנת שהאסטרונומים שיבואו אחריהם, ישננו את החוק היבש, וכך ויוכלו גם הם לחזות באמצעותו את הליקויים הבאים, ולספר להמון העם שמלכם הנערץ הוא "מלך השמים", המציל את השמש מדרקונים אימתניים.

אסטרונום מתוחכם יותר, היודע את הסיבה האמיתית להתרחשות הליקוי, יכול לחשב מתי בפעם הבאה יגיע הירח למיקום בו הוא מסתיר את פני השמש, גם בלי לבדוק ביומנו מתי התרחשו ליקויים בעבר, רק מתוך ידיעת מיקומם, מסלולם ומהירותם של השמש הירח וכדור הארץ. אסטרונום כזה יוכל לחזות גם תופעות שאין להם חוקיות מחזורית, הוא אינו זקוק לחוק קבוע על מנת לערוך תחזיות. ידיעת החוק והבנת הסיבה הן שתי דרכים שונות לחיזוי תופעות, אלא שלסיבה יש יתרון מסויים - היא שימושית גם בחיזוי תופעות לא מחזוריות.

מקריות היא העדר חוקיות ("חוקיות" במובן regularity שפירושו: קביעות, סדירות), אין לה שום קשר למושג "אקראיות" שמשמעותו העדר סיבה. כאוס הוא העדר חוקיות, אבל הוא בהחלט נוצר בתהליך של סיבה ותוצאה, על כן אם יודעים את הסיבות, אפשר בהחלט לחזות את התוצאה הסופית גם במערכת כאוטית, אלא שכאן נכנס לתמונה מיודעינו מעגל המשוב. למעגל המשוב יש הרגל מוזר, הוא מגביר כל חיתחות קטן למימדים עצומים, ויוצר תלות רגישה לתנאי התחלה. ההגברה הזאת פוגעת בכושר הניבוי שלנו, כיוון שכל חוסר דיוק קטן במדידת תנאי ההתחלה משנה לחלוטין את התוצאה הסופית.

בכדי לבצע חיזוי צריך לדעת במדוייק את נתוני המערכת ברגע נתון, ולהתחיל לחשב את מהלך הארועים משם והלאה. במערכות שאינן רגישות לתנאי התחלה, אי דיוק קטן במדידת תנאי ההתחלה כמעט שאינו מפריע לחיזוי, אך במערכות כאוטיות בהן פועל מעגל משוב, כל שינוי קטן בתנאי ההתחלה, משנה תוך זמן קצר את התמונה כולה. מאחר ואין מדידה מדוייקת לחלוטין, אין לנו אפשרות לחזות מערכות כאוטיות אלא לטווחים קצרים, במקרה של מזג האויר מדובר בטווח של עד שלושה ימים.

מזג האויר

בשנת 1960 עסק אדוארד לורנץ בחקר מזג האויר, בקמפוס המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס. הוא הצליח לגרום לכך שהמחשב המיושן, שתפס חלק נכבד ממשרדו, ידמה את שינויי מזג האויר. הוא בחר במספר חוקי טבע בסיסיים, אותם תרגם לשלוש משוואות מתמטיות. שלושת המשוואות ביטאו את יחסי הגומלין בין טמפרטורה ללחץ אויר, ובין לחץ אויר למהירות הרוח. מדי דקה ציינה המכונה כי חלף עוד יום, ופלטה את נתוני מזג האויר של אותו יום - טמפרטורה, לחץ אויר, מהירות וכיוון הרוח. המשוואות פעלו יחד במעגל משוב - כל יום החל בנתונים שבהם הסתיים היום הקודם, במהלך היום עברו הנתונים שינויים, ושוב החל יום חדש - קולט את הנתונים שפלט היום הקודם - וחוזר חלילה. מתברר ששום דבר, במזג האויר המלאכותי של לורנץ, לא התנהג פעמיים באותה צורה, הפלט שיצא מן המכונה היה לא מחזורי.

משהדפיס המחשב כמה עשרות ימים, אבד כל דמיון בין התדפיס הקודם לתדפיס הנוכחי, למרות ששניהם החלו מאותם נתוני פתיחה.

בחורף של שנת 1961, עבד המחשב של לורנץ בקדחתנות, פולט בהתמדה נתוני מזג אויר עבור כל יום שעובר במערכת ההדמיה. לורנץ בחן בענין קטע מסויים בתדפיס. הקטע שעניין את לורנץ לא היה הקטע הראשון בתדפיס, אלא קטע שהחל באחד הימים המאוחרים יותר, נניח ביום ה-60. לורנץ החליט להריץ את הקטע במחשב פעם נוספת, אך במקום לתת למחשב להדפיס הכל מן ההתחלה, חשב לונרץ לחסוך בזמן, ולתת למחשב להדפיס רק את רצף הימים שמתחיל מן היום ה-60 והלאה. על מנת להזין את המחשב בנתוני הפתיחה של היום ה-60, הקליד לורנץ את המספרים שהופיעו על התדפיס ביום ה-60, והפעיל את המחשב. בתחילה היו הנתונים שנפלטו זהים לתדפיס הראשון, אך משהדפיס המחשב כמה עשרות ימים, אבד כל דמיון בין התדפיס הקודם לתדפיס הנוכחי, למרות ששניהם החלו מאותם נתוני פתיחה. תחילה חשב לורנץ שישנה תקלה במחשב. המחשב היה סבך של תיל ושפופרות-ריק, והתקלקל מידי שבוע לערך.

אחד מן המרצים של לורנץ ב-.M.I.T היה ג'ורג' ד' ברקהוף. ברקהוף נהג לשנן לתלמידיו את אזהרתו של פואנקרה בספרו מדע ושיטה: "סיבה קלה ביותר, הנעלמת מעינינו, גורמת לפעמים לתוצאה כה נכבדה עד כי איננו יכלים שלא לראותה, ואז אנו אומרים כי התוצאה, במקרה יסודה. אילו ידענו בדיוק את חוקי הטבע, ואת מצבו של היקום ברגע התחלתי, כי אז יכולנו לנבא בדיוק את מצבו של אותו יקום ברגע הבא אחריו. אבל גם אילו היה זה כך, וידענו את כל חוקי הטבע, אפשר לדעת את מצב היקום רק בקירוב, משום כך נוכל לנבא את המצב הבא רק בקירוב. ניבוי בקרוב הוא משביע רצון, ונוכל לומר כי עלה בידינו לנבא את התופעה שהחוקים מושלים בה. אך אין זה כך תמיד; במצבים מסויימים שינויים קלים בתנאים התחלתיים, יחוללו שינויים גדולים מאוד בתופעה הסופית. שגיאה קלה מלכתחילה תחולל שגיאה ענקית לאחרונה. הניבוי נעשה בלתי-אפשרי..."

לורנץ נזכר בדברים של פואנקרה, ופתאום הבזיק במוחו הרעיון. המחשב שמר את הנתונים בדיוק של עד הסיפרה השישית אחרי הנקודה העשרונית, אך בתדפיס, על מנת לחסוך מקום, הופיעו המספרים בדיוק של עד הסיפרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית. כאשר קרא לורנץ את תדפיס הנתונים של היום ה-60, על מנת להזין את הנתונים למחשב ולערוך הדמיה חוזרת, היה הבדל של פחות מאלפית אחת בין הנתונים שבתדפיס, לבין הנתונים כפי שנשמרו בזכרון המחשב. ההפרש הקטן הזה, משעבר הגברה במעגל המשוב, שינה לחלוטין את מזג האויר בחלוף כמה עשרות ימים. גם כיום כשלרשות החזאים עומדים מחשבי-על, המעבדים כמות עצומה של נתוני מזג האויר, ופולטים תחזיות מדוייקות למדי, אין אפשרות לחזות את מזג האויר לטווח של יותר משלושה ימים. כל תחזית לטווח ארוך יותר, או תחזית שמנסה לנבא את את מזג האויר באזור מצומצם מאוד, תהיה בגדר ניחוש, כיוון שהנתונים שמגיעים מן המדידות המטרולוגיות, אינם מדוייקים לחלוטין.

ב-20 בדצמבר 1979, נשא אדוארד לורנץ הרצאה, בפני הכינוס שנתי של האגודה האמריקנית לקידום המדע בוושינגטון, תחת הכותרת "יכולת-ניבוי: האם משק כנפיו של פרפר בברזיל מחולל טורנדו בטקסס?" מאז קיבלה התופעה של תלות רגישה לתנאי התחלה את כינויה - "תוצא הפרפר".

עבור אנשים רבים, צמד המילים "תוצא הפרפר", מסכמות את כל הידע שלהם בנוגע לתורת הכאוס. אך מתורת הכאוס מתבארת תובנה נוספת, חשובה לא פחות - המקריות איננה אקראית - לארועים מקריים יש הסבר סיבתי לא פחות מאשר לארועים מחזוריים.

לאבחנה הזאת בין מקריות לאקראיות, יש השלכות רבות. עצם הידיעה שארועים מקריים הם ארועים מאולצים, שלא יכלו להתרחש בשום צורה אחרת, משנה את צורת ההסתכלות שלנו על החיים - החיים אינם משחק מזל, יש להם סיבה ותכלית.

הפרק הבא: מקריות ואקראיות

14/2/2004

אוהבים את האתר? עזרו לנו ליצור עוד מאמרים וסרטונים.
aish.co.il קיים אך ורק בזכות התמיכה שלכם.
התגובות למאמר הנן הדעות האישיות של כותביהן. התגובות מפורסמות בהתאם לשיקול הדעת של המערכת, אנא שמרו על שפה נקיה ואדיבה.

למאמר זה התפרסמו: 28 תגובות ב-27 דיונים

(27) אנונימי, 12/4/2011 19:12

יפה!

(26) סימבה, 6/9/2004 02:51

(X next = RX(1-X

גם במקדמי R גדולים מ4 יש סדר אך הוא הרבה יותר קשה לגילוי משום שהוא קיים בסדר גודל אחר.

לצורך המחשה של הדברים יש להביט בדיאגרמת פיינגנבאום המראה את מרחבי המופע(מעבר משיווי משקל אחד לשני).

גם בטווחי R גדולים מ4 ניתן לחזות קריסה של פיתרונות. במיוחד משום שיש יחס קבוע בין מרחב מופע אחד לשני

4.669211660910299067185320382047...

(25) רוית, 5/9/2004 01:26

ליוסי 24

אולי תתיחס למה שכתוב במאמר ולא תפסול הכל בציניות... אתה בוודאי יודע שזה הכי קל...

(24) יוסי, 4/9/2004 10:09

דמגוגיה זולה...

נו באמת, הניסיון להחזיר אנשים בתשובה בצורה "מדעית" הוא קצת יותר טיפשי מהמסקנות שאתם מגיעים אליהם.

(23) אביץ, 2/9/2004 16:53

יפה

אני חושב שתופעות כאוטיות מתרחשות גם בנפש...

הצג את כל התגובות

תגובה למאמר:

  • כתובת האימייל לא תוצג.


  • 2000
שלח תגובה
stub